Analiza zavarenih spojeva metodom konačnih elemenata (MKE, FEA)

Zavarivanje je definisano kao lokalno spajanje metala ili nemetala uzrokovano ili zagrijavanjem i topljenjem materijala sa ili bez primjene pritiska, ili samo primjenom pritiska, sa ili bez dodatnog materijala. Tehnike zavarivanja su jedne od najvažnijih i najčešće korištenih tehnika spajanja u industrijij. Svaka informacija o obliku, veličini i zaostalim naprezanjima u zavarenim spojevima su od ključnog značaja kada je u pitanju poboljšanje kvaliteta zavarenog spoja. Analiza procesa zavarivanja uključuje poznavanje nekoliko grana fizike i zahtijeva spajanje različitih modela kako bi se opisalo ponašanje fenomenološkog sistema. Mnogi od modela za proračun zavarenih spojeva implementirani su numerički i koriste se kao zadovoljavajući načini za rješavanje problema iz ove oblasti.

U procesu elektrolučnog zavarivanja, energija potrebna za spajanje metala nastaje Džulovim efektom. Ovaj efekat proizvodi energiju potrebnu za topljenje osnovnog i dodatnog materijala i formira ono što poznajemo pod nazivom zavarivačka kupka. Temperatura površine varira od 1700 K do 2500 K, ovisno o materijalu. Temperatura se iz zavarivačke kupke kroz materijal prenosi konvekcijom. Nakon uklanjanja izvora toplote, metal otvrdnjava. U toku ovog procesa, temperaturne promjene dovode do faznih transformacija u materijalu. Ove mikrostrukturne transformacije mogu dovesti do promjena osobina materijala, kao što su žilavost, tvrdoća i sl. Zagrijavanje i hlađenje inducira lokalne promjene zapremine. Termički napon koji se javlja u zoni zavarivanja je elastoplastičan i rezultujući naponi reaguju stvarajući trajne distorzije. Distorzije predstavljaju rezidualne deformacije koje smanjuju kvalitet zavarenih struktura.

Pri numeričkim proračunima zavarenih spojeva, moramo obratiti pažnju na ranije navedene fenomene koji se javljaju u toku ove procedure. Tako je prvobitno najbitnije da obratimo pažnju na uticaj termičkih promjena u spoju i mehaničkih opterećenja koje šav mora da nosi. Zbog toga se FEM analiza zavarenih spojeva sastoji od rješavanja termičkog i mehaničkog dijela problema proračuna zavarenih konstrukcija.

TERMIČKA ANALIZA

Model baziran na proračunima temperature koristi se za simuliranje promjenljivih konduktivnih procesa prenosa toplote u 3D sredini. Da bi se izvršila analiza ovakvog tipa, vrši se podjela posmatrane domene na konačan broj manjih elemenata i koriste se Galerkinove funkcije. U toku promjene faza, materijal apsorbuje ili otpušta značajnu količinu latentne toplote, prouzrokujući tako izrazitu nelinearnost u funkciji entalpije. Kako bi se ovakvi fenomeni tačno modelirali, razlikujemo različite jednofazne dijelove kompletnog modela, kada integriramo konačne elemente u kompletan model otvrdnjavanja. Uticaji različitih faza su integrirani zasebno kako bi se uočile razlike osobina materijala među fazama. Ova, tzv. diskontinualna integracija izbjegava kontrolu ove pojave, dopuštajući egzaktno rješenje diskretnih nelinearnih jednačina koje ju opisuju koristeći Newton-Raphsonovu numeričku metodu.

Uzimajući u obzir pretpostavke nekompresabilnosti, neznatne viskoznosti i rasipanja, linearne zavisnosti toplotnog fluksa od temperaturnog gradijenta (Fourierov zakon) i nepostojanje toka rastopine za vrijeme otvrdnjavanja, energija za svaki element data je klasičnom jednačinom energetske ravnoteže:

gdje su:

T – temperatura
H – entalpija (po jedinici zapremine)
k – toplotna vodljivost materijala
q=q(x,t) – količina toplote potrebna za zavarivanje

Na osnovu ove jednačine, bazirana je metoda modeliranja termičkih procesa kod zavarivanja. Svakako, ona je mnogo komplikovanija od prikazane jednačine, ali je za određene granične uslove koji vladaju u ovom procesu, moguće definisati zakonitosti za svaki element na koji je podijeljen sistem, a nakon toga uz pomoć tih zakonitosti dobiti sistem jednačina koji ćemo riješiti uz pomoć određenog softverskog alata. Na taj način, dobit ćemo model temperaturnog polja koje vlada u zavarenom spoju i zoni uticaja toplote osnovnog materijala.

Međutim, razlika u temperaturnim poljima stvarnog od idealnog procesa, između ostalog, leži i u činjenici da se u toku procesa zavarivanja izvršni element (elektroda, žica, plamen… ) kreće u odnosu na materijal koji se zavaruje (ili obratno). Zbog toga, pri modeliranju ovih procesa, u obzir treba uzeti i tu razliku uzrokovanu međusobnim kretanjem.

Pomjerani izvor toplote implementira se uz pomoć formulacije klasične promjenjive koja opisuje kretanje izvora toplote  u odnosu na zavarivani dio s promjenom vremena. Kako bi se modelirao izvor toplote, proučava se trodimenzionalni dvostruki elipsoid prikazan na slici 1. Jedna od karakteristika dvostruko elipsoidne geometrije jeste da ju je moguće modelirati kako za plitke procedure elektrolučnog zavarivanja, tako i za dubokopenetrirajuće procese zavarivanja laserskim i elektronskim zracima. Raspodjela toplotnog fluksa poprima oblik Gaussove funkcije duž longitudinalne ose. Prednja polovina izvora predstavlja jedan kvadrant jednog elispoidnog izvora dok je zadnja polovina kvadrant nekog drugog elipsoidnog izvora. Četiri parametra definišu svaki od elipsoida. Fizički, oni su saglasni sa dimenzijama topljene zone. Poznavajući dakle površinu topljene zone prema eksperimentu, moguće je odrediti parametre izvora toplote. Kao prvu aproksimaciju, razumno je uzeti dužinu ispred izvora jednaku jednoj polovini širine zavara, a dužinu iza izvora dvostrukoj širini zavara. Kako bi se simulirali toplinski efekti elektrolučnog zavarivanja, ekvivalentna količina unesene toplote smatra se konstantnom unutrašnjom toplinom prenesenom na jedinicu zapremine. Pri ovim proračunima, moguće je uzeti koordinatni sistem vezan za toplotni izvor. Na slici 2. dat je dijagram na kojem možemo vidjeti razliku eksperimentalno dobijenih vrijednosti temperatura na udaljenosti x od ose zavarenog spoja u odnosu na temperature dobijene metodom konačnih elemenata.

MEHANIČKA ANALIZA

U toku procesa zavarivanja, zavarivačka kupka i zona uticaja topline imaju različite brzine zagrijavanja i hlađenja, a zbog toga i različite intenzitete širenja i skupljanja. Ovaj efekat dovodi do značajnog termičkog naprezanja. Zbog lokalizovane prirode toplote zavarivanja, širenje zone zavarivanja i zone uticaja topline dijela je spriječeno hladnijim materijalom izvan ovih zona. Fizičke i hemijske karakteristike materijala također se mijenjaju u ovim područjima u toku i nakon procesa zavarivanja. Ove promjene ogledaju se u promjenama mehaničkih osobina i moraju biti uzete u obzir pri mehaničkim analizama. Zbog trodimenzionalne prirode unutrašnjih naprezanja, graničnih uslova i geometrije sistema, potrebno je izvršiti trodimenzionalno modeliranje procesa. Treba napomenuti da se zavarivačka kupa ne modelira pri analizi mehaničkih naprezanja. Ovo je mehko područje koje služi samo kao izvor toplote pri termičkoj analizi.

Termoelastični model ponašanja materijala je, za većinu modela, baziran na hipoelastičnoj verziji Hukovog zakona sa uračunavanjem termičkih naprezanja. Najznačajniji parametri su Youngov modul elastičnosti i koeficijent termičke dilatacije. Poasonov koeficijent ima slab uticaj na naprezanja i deformacije u toku procesa zavarivanja. Plastični model korišten za otvrdnuti metal zavisan je o brzini hlađenja ili zagrijavanja. Međutim, kako su brzine zagrijavanja i hlađenja prilično velike, uticaj plastičnih deformacija može biti zanemaren. Zanemareni su i inercijalni efekti, pod pretpostavkom da se ubrzanja elemenata u čvrstim tijelima jednaka nuli.

Poznato je da metoda konačnih elemenata, sa standardnim modeliranjem materijala, daje dobre rezultate kada je u pitanju analiza termičkih naprezanja. Međutim, postoji nekoliko bitnih segmenata formulacije problema kada su u pitanju procesi topljenja ili otvrdnjavanja. Svakoj tački materijala i njegovoj okolini (slika 3) pripisuju se tri različita stanja koja se uzimaju u razmatranje pri mehaničkoj simulaciji procesa:

1. referentno stanje (B) koje služi kao početno stanje tačke koje se posmatra
2. prirodno stanje (B_O) koje odgovara stanju materijala odmah ispod temperature rekristalizacije, na kojoj materijal počinje da razvija mehaničku čvrstoću
3. trenutno stanje (B_t)

Primjetimo da, pošto vrijeme otvrdnjavanja nije jednako za sve tačke analiziranog područja materijala, svaka tačka materijala ima svoja vlastita, sebi svojstvena, stanja kroz različite vremenske trenutke. Definiramo li u_o kao pomak iz referentnog  prirodno stanje, u_t kao pomak iz referentno u trenutno stanja, a u kao pomak iz prirodnog u trenutno stanje, možemo napisati jednačinu:

Kada koristimo FEM analizu, mreža se definira u referentnom stanju (pri vremenu t=0), kao što je prikazano na slici 3. Koristeći pretpostavke malih deformacija, kao i pretpostavku postojanja srednjeg gradijenta deformacije u okolini svake tačke, analogno prethodnoj jednačini, možemo pisati da su deformacije u određenoj tački za ista stanja analogni pomacima, tako da vrijedi:

Bitno je napomenuti da je za tačno predstavljanje ponašanja materijala u zoni interesa (zona zavarivanja i zona uticaja toplote) potrebno uzeti u obzir značajnu zavisnost svih osobina materijala o temperaturi.

Kada su u pitanju matematski modeli koji se koriste u FEM analizi, bitno je istaći sljedeće napomene:

1. Deformacija εo računa se prvi put kada temperature svih čvorova padnu ispod temperature rekristalizacije (T<T_R) i sprema se u elementu kao dodatna tenzorska interna varijabla. Najčešće se u obzir pri proračunima za ovu temperaturu uzima vrijednost temperature metala na solidus liniji faznog dijagrama.
2.  U nekim modelima, domena solidus faze se mijenja s vremenom što otežava proračune.
3. Opisani numerički model ne predviđa stvarne pomake polja unutar čvrste faze, jer se ne spremaju podaci pomaka za prirodno stanje elemenata.
4. Proračuni naprezanja bazirani na totalnoj deformaciji, bez oduzimanja početne deformacije iz referentnog u prirodno stanje daju potpuno nerealistične rezultate, što se može provjeriti određenim analitičkim izrazima ili, naravno, eksperimentalno.
5. Sve unutrašnje varijable elemenata, uključujući i deformaciju ε_o, postaju jednake nuli čim se temperatura elementa podigne iznad temperature nulte čvrstoće.

REFERENCE

1. A.Anca, A.Cardona, V.Fachinotti – Finite element modeling of welded joints
2. J.Elofsson, P.Marinsson – Welding Simulation with Finite Element Analysis
3. O.de Weck, Il Yong Kim – Finite Element Method